时间反演对称性(3)：“汉斯·克莱默想要简并～物理学家的天才头脑战（迫真）～” - 知乎

　　本文TRS指Time Reversal Symmetry，即时间反演对称性。

　　迎来了三部曲的最终章（大概）。

　　前两节我们介绍了TRS的基本概念，对spinless和spinful (particularly spin-1/2)的TRS进行了讨论：O空O扬O：时间反演对称性(1)：“一个哈密顿量，究竟有没有TRS的？”O空O扬O：时间反演对称性(2)：“都几岁啦，还那么害羞～”（指不会晶体电子的TRS）

　　前些天听到了令人振奋的消息：知乎知名校园、青春、恋爱（？）动画：《汉斯·克莱默想要简并～物理学家的天才头脑战（迫真）～》第三期动画化决定！

　　下面就来讲讲啥是Kramers' Degeneracy Theorem～

　　在本系列TRS的第一部分中，我们提到一个话题：在time-reversal invariant momentum points处的degeneracy

　　对于spinless系统，

　　现在，我们考虑了电子的自旋，此时系统在time-invariant momentum points处的degeneracy是否有变化呢？

　　此时与spinless系统不同的是，我们有

　　U是unitary矩阵

　　对比上面两条等式，我们有

　　即U具有反对称性

　　从而

　　另一方面利用U的反对称性可以写成

　　上述的推导用于time-reversal invariant point上，便可以得到和spinless system完全不同的结论：对于spin-1/2的系统，在time-reversal invariant point上的和是属于同一个晶格动量而正交的两个态，即在此处有二重简并。

　　啊哈，其实还有一个简单的推导～

　　对于一个有TRS的哈密顿量（可以是0维的，也可以是time-reversal invariant point的Bloch Hamiltonian）

　　这等价于说，如果 是系统本征态，那么 也是系统的本征态（和 ， 是一回事）

　　我们用反证法，如果 和 不是简并的，是一个态，那么 ，c是一个一个一个复数（恼）

　　那么，注意到T里面有复共轭操作K，还有一个U。

　　U不会对一个一个一个复数有啥作用，可以交换。

　　那么T和一个一个一个复数对易会把c进行共轭操作。

　　如果我们用T在作用一次

　　ん？あれれ？不是说spin-1/2的话，

　　这样的话，靠上述论证得到 这一点，就足够证明”汉斯·克莱默想要简并“这一点了

　　这对我们对晶体电子的研究有什么影响？

　　一个很重要的结论是：有TRS的拓扑绝缘体最少需要四个能带子带；否则，由于在time-reversal invariant point处都会有简并（以二维的正方晶格为例，BZ的等点都满足time-reversal invariant，即）。

　　从能带的角度来看，自旋向上和自旋向下的能带将在此处重合/简并，因为之前的理论证明了他们的能量在这些点相同。

　　回到原来的问题，构建一个拓扑绝缘体的minimal model，如果只有两个子带，即只有一个能级（在本系列第二节中用Bloch Hamiltonian的下标标记），不同自旋（在本系列第二节中用Bloch Hamiltonian的上标标记），那么两个能带由于一定会在time-reversal invariant momentum处交叠，从而没有gap。只有至少有四个能带，才能出现拓扑相一类的绝缘体。左图：没有简并的一般二能带 右图：Kramers‘ Degeneracy导致能带交叠

　　当我们想manipulate这个体系时，有时候Kramers‘ degeneracy是一件「邪魔」的事，怎么从根源上解除，即让系统没有TRS呢？

　　我们最常见的manipulate Hamiltonian的办法就是外加电磁场了～

　　加外静电场不会破坏TRS，因为

　　而加入外磁场则会，因为，

　　那系统自身的电磁效应会不会出现《我 破 坏 我 自 己》的白学场面呢？答案是否定的。

　　我们之前的电场和磁场是外加的，所以上述推导过程中不变，但是若将电荷以及电磁场纳入我们考虑的系统，我们就要考虑电磁场的时间反演变换了。

　　我们可以直接从经典的Maxwell Equations得出电磁场以及电荷系统的TR操作：

　　Maxwell Equations：

　　将，可以得到

　　这样回到上面的讨论，我们关注系统的磁效应会不会自己破坏自己的TRS，例如Spin-Orbit Coupling（自旋-轨道耦合）:

　　因为，

　　粗略的讨论后发现雀食不会哈～（笑）本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布没有后面啦，除非你想让我学其他的～