时间反演对称性(3):“汉斯·克莱默想要简并~物理学家的天才头脑战(迫真)~” - 知乎
本文TRS指Time Reversal Symmetry,即时间反演对称性。
迎来了三部曲的最终章(大概)。
前两节我们介绍了TRS的基本概念,对spinless和spinful (particularly spin-1/2)的TRS进行了讨论:O空O扬O:时间反演对称性(1):“一个哈密顿量,究竟有没有TRS的?”O空O扬O:时间反演对称性(2):“都几岁啦,还那么害羞~”(指不会晶体电子的TRS)
前些天听到了令人振奋的消息:知乎知名校园、青春、恋爱(?)动画:《汉斯·克莱默想要简并~物理学家的天才头脑战(迫真)~》第三期动画化决定!
下面就来讲讲啥是Kramers' Degeneracy Theorem~
在本系列TRS的第一部分中,我们提到一个话题:在time-reversal invariant momentum points处的degeneracy
对于spinless系统,
现在,我们考虑了电子的自旋,此时系统在time-invariant momentum points处的degeneracy是否有变化呢?
此时与spinless系统不同的是,我们有
U是unitary矩阵
对比上面两条等式,我们有
即U具有反对称性
从而
另一方面利用U的反对称性可以写成
上述的推导用于time-reversal invariant point上,便可以得到和spinless system完全不同的结论:对于spin-1/2的系统,在time-reversal invariant point上的和是属于同一个晶格动量而正交的两个态,即在此处有二重简并。
啊哈,其实还有一个简单的推导~
对于一个有TRS的哈密顿量(可以是0维的,也可以是time-reversal invariant point的Bloch Hamiltonian)
这等价于说,如果 是系统本征态,那么 也是系统的本征态(和 , 是一回事)
我们用反证法,如果 和 不是简并的,是一个态,那么 ,c是一个一个一个复数(恼)
那么,注意到T里面有复共轭操作K,还有一个U。
U不会对一个一个一个复数有啥作用,可以交换。
那么T和一个一个一个复数对易会把c进行共轭操作。
如果我们用T在作用一次
ん?あれれ?不是说spin-1/2的话,
这样的话,靠上述论证得到 这一点,就足够证明”汉斯·克莱默想要简并“这一点了
这对我们对晶体电子的研究有什么影响?
一个很重要的结论是:有TRS的拓扑绝缘体最少需要四个能带子带;否则,由于在time-reversal invariant point处都会有简并(以二维的正方晶格为例,BZ的等点都满足time-reversal invariant,即)。
从能带的角度来看,自旋向上和自旋向下的能带将在此处重合/简并,因为之前的理论证明了他们的能量在这些点相同。
回到原来的问题,构建一个拓扑绝缘体的minimal model,如果只有两个子带,即只有一个能级(在本系列第二节中用Bloch Hamiltonian的下标标记),不同自旋(在本系列第二节中用Bloch Hamiltonian的上标标记),那么两个能带由于一定会在time-reversal invariant momentum处交叠,从而没有gap。只有至少有四个能带,才能出现拓扑相一类的绝缘体。左图:没有简并的一般二能带 右图:Kramers‘ Degeneracy导致能带交叠
当我们想manipulate这个体系时,有时候Kramers‘ degeneracy是一件「邪魔」的事,怎么从根源上解除,即让系统没有TRS呢?
我们最常见的manipulate Hamiltonian的办法就是外加电磁场了~
加外静电场不会破坏TRS,因为
而加入外磁场则会,因为,
那系统自身的电磁效应会不会出现《我 破 坏 我 自 己》的白学场面呢?答案是否定的。
我们之前的电场和磁场是外加的,所以上述推导过程中不变,但是若将电荷以及电磁场纳入我们考虑的系统,我们就要考虑电磁场的时间反演变换了。
我们可以直接从经典的Maxwell Equations得出电磁场以及电荷系统的TR操作:
Maxwell Equations:
将,可以得到
这样回到上面的讨论,我们关注系统的磁效应会不会自己破坏自己的TRS,例如Spin-Orbit Coupling(自旋-轨道耦合):
因为,
粗略的讨论后发现雀食不会哈~(笑)本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布没有后面啦,除非你想让我学其他的~
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